Tahun 2019-2020 Semester Genab

Tuliskan masalahnya di kolom komentar! Jika saya bisa membantu akan saya tanggapi di laman ini. Trima Kasih.

Pertanyaan dari Vergina dan Christhoper tanggal 5 Mei 2020 tentang cara penyelesaiaan soal nomer 6 trygonometri 1a

Perlu diingat bahwa sudut yang berlawanan awah mempunyai tanda yang berbeda (positif dan negatif).

Sudut yang arahnya sama dengan gerak jarum jam diberi tanda positif dan sebaliknya ditandai dengan positif.

dengan kita melihat sketsa pembahasan tampak sudut yang kita cari adalah sudut dengan tanda sudut merah.

Sudut tersebut sama dengan perjalanan dua sudut merah putus-putus.

Sudut merah putus putus yang lebar adalah $270^o$ sedangkan sudut merah putus-putus yang kecil sebenarnya sama dengan sudut $\alpha$ dengan arah berlawanan, sehingga dapat ditulis $-\alpha$ .

Jadi sudut yang ditanyakan adalah $270^o + (-\alpha) = 270^o - \alpha$

Pertanyaan dari Vergina tanggal 21 April 2020 tentang cara penyelesaiaan soal nomer 10 trygonometri 1a

Kita buat sketsa untuk persoalan seperti gambar berikut, dengan menggunakan rumus yang telah tersampaikan saat pembahasan soal trygonometri 1a nomer 9 dapat dibuat persamaan,

$\left. \begin{array}{rcl}4^2 + p^2 - 2(4)(p)cos(\alpha)&=& 3^2 \\16 + p^2 -8p(\frac{3}{4})&=&9\\16 + p^2 - 6p&=&9 \\ 16 + p^2 - 6p - 9&=&0\\ p^2 - 6p + 7&=&0\end{array}\right.$

Ingat rumus berikut

Jika $ax^2 + bx + c =0 , a \ne 0$ maka penyelesaiannya,
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ dengan $D = b^2 - 4ac$

menggunakan rumus diatas maka $D = (-6)^2 - 4(1)(7) = 8$ sehingga nilai,

$\left. \begin{array}{rcl}p&=& \frac{-(-6) \pm \sqrt{8}}{2(1)} \\&=&\frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2}\\&=3& \pm \sqrt{2} \end{array}\right.$

nilai minimal $p = 3 -\sqrt{2}$ maka keliling segitiga tersebut minimal $3 + 4 + 3 - \sqrt{2} = 10 - \sqrt{2}$ centimeter.

Pertanyaan dari Eva Osika tanggal 21 April 2020 tentang cara penyelesaiaan soal nomer 9 trygonometri 1a

Kita gunakan ilustrasi gambar segitiga berikut dengan sudut $\alpha$ sebagai pelurus $\beta$ atau $\alpha = (180^o - \beta)$ .
Dari ilustrasi tersebut berlaku $(9+4cos(\alpha))^2 + (4sin(\alpha))^2 = (12)^2$ , karena $cos(\alpha)= cos(180^o-\beta) = -cos(\beta)$ dan $sin(\alpha)= sin(180^o-\beta) = sin(\beta)$ sehingga diperoleh,

$\left. \begin{array}{rcl}(9+4(-cos(\beta))^2 + (4sin(\beta))^2&=& (12)^2 \\81-72cos(\beta)+16cos^2 (\beta) + 16sin^2 (\beta)&=&144\\-72cos(\beta)&=&144 - (81 + 16cos^2 (\beta) + 16sin^2 (\beta)) \\ -72cos(\beta)&=& 144 - (81 + 16) \\ -72cos(\beta)&=&47\\ cos(\beta)&=&-\frac{47}{72}\end{array}\right.$

Metode diatas dapat digunakan untuk menunjukkan rumus,

Jika sudut $\beta$ diapit dua sisi segitiga x dan y sedangkan sisi lainnya adalah z maka berlaku persamaan,
$z^2 = x^2 + y^2 - 2xycos(\beta)$

Untuk ananda Vergina, coba gunakan rumus diatas untuk menyelesaikan soal nomor 10 di trygnometri 1a, selamat mencoba dan berhasil.

Pertanyaan dari Nadila Amara Putri tanggal 12 April 2020 tentang cara penyelesaiaan soal nomer 9 polinom 3.

Penyelesaian persamaan pada dasarnya jika penyelesaian digantikan pada variabel persamaan menghasilkan pernyataan yang benar

Mengacu pada pengertian diatas, karena diketahui penyelesaian persamaan -4 dan 2 maka jika x diisi dengan -4 menghasilkan pernyataan b(-4)³ + 6(-4)² + a(-4) + 32 = 0 dan disederhanakan menjadi -4a – 64b = -128.
Begitu pula untuk x diisi 2 akan menghasilkan bentuk b(2)³ + 6(2)² + a(2) + 32 = 0 dan disederhanakan menjadi 2a + 8b = -56.
Jika dilakukan elemenasi pada kedua pernyataan diatas akan diperoleh,

$\left. \begin{array}{rcrcr|c|rcrcrr}-4a&-&64b&=&-128&\times 1&-4a&-&64b& =&-128& \\ 2a&+&8b&=&-56&\times 2&4a&+&16b& =&-112&+\\ \hline &&&&&&&&-48b&=&-240& \\ &&&&&&&&b&=&5& \end{array}\right.$

dengan mensubstitusi nilai b yang kita dapatkan pada 2a + 8b = -56 maka akan diperoleh a = – 48 sehingga bentuk persamaan menjadi 5x³ + 6x² – 48x + 32 = 0
Karena -4 dan -2 merupakan penyelesaian maka x + 4 dan x – 2 merupakan faktor polinom 5x³ + 6x² – 48x + 32 sehingga dapat kita gunakan skema horner berkelanjutan (dibagi x + 4 kemudian hasilnya dibagi x – 2)untuk mencari faktor lainnya seperti berikut,

$\left. \begin{array}{c|ccccr}&5&6&-48&32&\\-4&&-20&56&-32&+\\ \hline &5&-14&8&0 \\2&&10&-8&+&\\ \hline &5&-4&0&& \end{array}\right.$

Dari hasil akhir rankaian skema horner diatas menghasilkan sisa 0 menunjukkan bahwa hasil bagi akhir rangkaian skema horner 5x – 4 merupakan faktor polinom 5x³ + 6x² – 48x + 32. Karena 5x – 4 merupakan faktor maka pembuat nol faktor ini juga merupakan penyelesaian persamaan 5x³ + 6x² – 48x + 32 = 0 , yaitu $x = \frac {4}{5}$

Pertanyaan dari Margaretha tanggal 11 April 2020 tentang cara penyelesaiaan soal nomer 9 trygonometri 1.

Kita membuat salah satu sudut dan menempatkan seperti sketsa selanjutnya
perbandingan cosinus sudut dapat kita gambar dalam sketsa. Menggunakan rumus Pythagoras nilai $y = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$
dari gambar juga dapat digunakan perbandingan sisi segitiga siku-siku kecil dan segitiga siku siku besar,
$\frac{a}{5} = \frac{b}{y} = \frac{c}{13}$ dengan memasukkan nilai y dan mengambil nilai perbandingan k diperoleh $\frac{a}{5} = \frac{b}{12} = \frac{c}{13} = k$ sehingga dapat diperoleh a = 5k, b = 12k, dan c = 13k.
diketahui keliling segitiga 150 maka berlaku,
a + b + c = 150 atau 5k + 12k + 13k = 150 sehingga nilai k = 5.
Jadi luas segitiga adalah $L_{\Delta} = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2}(5k)(12k) = 30k^2 = 750$ .

Pertanyaan dari Vitalisa Efrina tanggal 11 April 2020 tentang cara penyelesaiaan soal nomer 10 trygonometri 1.

Misal saya ambil persoalan seperti gambar samping, kemudian kita membuat sketsa persoalan tersebut seperti gambar bawah.

Misal sisi yang diketahui adalah c dengan sudut pengapit sisi tersebut adalah $\alpha$ dan $\beta$

Kita gunakan rumus identitas $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ untuk menentukan perbandingan cosinus dari perbandingan sinus.
$\left. \begin{array}{rcl}\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)& = &1\\ (\frac{60}{61})^2 + \cos^2(\alpha) & = &1 \\ \cos^2(\alpha) & = & 1 - (\frac{60}{61})^2 \\ & = & \frac{3721}{3721} - \frac{3600}{3721} \\ & = & \frac{3721 - 3600}{3721}\\ & = & \frac{121}{3721}\\ \cos(\alpha) & = & \pm \sqrt{\frac{121}{3721}}\\ \cos(\alpha) & = & \pm \frac{11}{61}\end{array}\right.$
karena sudut lancip maka kita ambil nilai positip yaitu $\cos(\alpha) = \frac{11}{61}$

Menggunakan cara seperti diatas, dari $\sin(\beta) = \frac{15}{17}$ akan kita peroleh $\cos(\beta) = \frac{8}{17}$

Menggunakan segitiga siku-siku kiri pada sketsa atas maka perbandingan $\sin(\alpha) = \frac{t}{b} \Rightarrow t = b \sin(\alpha)$
Menggunakan segitiga siku-siku kanan pada sketsa atas maka perbandingan $\sin(\beta) = \frac{t}{a} \Rightarrow t = a \sin(\beta)$
artinya $b \sin(\alpha) = a \sin(\beta)$ dan,

$\left. \begin{array}{rcccl}b&=&\frac{ a \sin(\beta)}{\sin(\alpha)}&=& \frac{a( \frac{15}{17})}{\frac{60}{61}} \\&&b&=&a( \frac{15}{17})(\frac{61}{60})\\ &&b&=&\frac{61 a}{68} \end{array}\right.$

Menggunakan segitiga siku-siku kiri pada sketsa atas maka perbandingan $\cos(\alpha) = \frac{c_1}{b} \Rightarrow c_1 = b \cos(\alpha)$
Menggunakan segitiga siku-siku kanan pada sketsa atas maka perbandingan $\cos(\beta) = \frac{c_2}{a} \Rightarrow c_2 = a \cos(\beta)$
dari sketsa juga diperoleh

$\left. \begin{array}{rcl}c_1 + c_2 &= & c\\ b \cos(\alpha) + a \cos(\beta)&= &301 \\ (\frac{61 a}{68})(\frac{11}{61}) + a(\frac{8}{17}) & = &301 \\ \frac{11a}{68} + \frac{8a}{17} &=&301\\ \frac{43}{68}a &=&301\\ a &= &301(\frac{68}{43}) \\ a &=&476 \end{array}\right.$

Sehingga nilai $b = \frac{61 a}{68} = \frac{(61)(476}{68} = 427$ maka kelilingnya segitiga adalah a + b + c = 476 + 427 + 301 = 1204 meter.

Pertanyaan dari Septavia Navis tanggal 10 April 2020 tentang cara penyelesaiaan soal nomer 7 polinom 3.

Mengacu dari teorema sisa dari soal diperoleh informasi:

E(x) dibagi (x – 8)(x – 5) sisanya -8x + 6 memberikan informasi E(8) = -8(8) + 6 = -64 + 6 = -58, juga mengandung informasi E(5) = -8(5) + 6 = -40 + 6 = -34.
E(x) dibagi (x – 2)(x – 3) sisanya 7x – 4 memberikan informasi E(2) = 7(2) – 4 = 14 – 4 = 10, juga mengandung informasi E(3) = 7(3) – 4 = 21 – 4 = 17.
E(x) dibagi x² – 8x + 15 sama artinya dengan E(x) dibagi (x -3)(x – 5) dan memeri sisa ax + b.
Pernyataan diatas memberi arti E(3) = a(3) + b = 3a + b, dan juga E(5) = a(5) + b = 5a + b.
Dari informasi E(3) dan E(5) di point (1), (2), dan (3) dapat dilakukan elemenasi sebagai berikut,
$\left. \begin{array}{cccccccr}E(5)&=&5a&+&b&=&-34&\\E(3)&=&3a&+&b&=&17&-\\ \hline &&2a&&&=&-51&\\ &&a&&&=& \frac{-51}{2}& \end{array}\right.$

Pertanyaan dari Duta Meisya tanggal 6 April 2020 tentang cara penyelesaiaan soal nomer 10 polinom 3.

Untuk menyelesaikan soal disamping dapat dilakukan dengan memeriksa jumlah penyelesaian masing-masing pilihan.
Pilihan A

kita anggap P(x) = x³ + 13x² + 57x + 85 sehingga suku konstantanya 85 kemudian kita periksa nilai P(x) untuk nilai x dari faktor bulat 85 yaitu $\pm 1, \pm 5, \pm 17, \pm 85$ yang menghasilkan nilai nol (kita butuh satu nilai saja).

Misal kita pilih x = -5 kemudian P(-5) = (-5)³ + 13(-5)² + 57(-5) + 85 = -125 + 315 – 275 + 85 = 0. Karena P(-5) = 0 maka x + 5 sebagai faktor.
Kemudian lakukan pembagian P(x) dengan x + 5 , menggunakan skema horner,

$\left. \begin{array}{c|crrrr}&1&13&57&85\\-5&&-5&-40&-85&+\\ \hline &1&8&17&0\end{array}\right.$

jadi diperoleh x³ + 13x² + 57x + 85 = (x + 5 )(x² + 8x + 17)
Kemudian kita periksa diskriminan dari x² + 8x + 17 yaitu D = (8)² – 4(1)(17) = -2 kemudian menggunakan rumus persamaan kuadrat ABC akan diperoleh akar akar,

$\left. \begin{array}{rcl}x_{\text{1 dan 2}} &= &\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\ &=&\frac {-8 \pm \sqrt{-2}}{2(1)} \\&=& \frac {-8 \pm \sqrt{-2}}{2} \\ &=& -4 \pm \frac {1}{2}\sqrt{-2} \end{array}\right.$

sehingga penyelesaiannya adalah $\{ -5, -4 + \frac {1}{2} \sqrt{-2} , -4 - \frac {1}{2}\sqrt{-2} \}$ . Dari ketiga penyelesaian yang real hanya satu yaitu -5.
Pilihan C

kita anggap P(x) = x³ + 6x² – 2x – 28 sehingga suku konstantanya -28 kemudian kita periksa nilai P(x) untuk nilai x dari faktor bulat -28 yaitu $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 14, \pm 28$ yang menghasilkan nilai nol (kita butuh satu nilai saja).

Misal kita pilih x = 2 kemudian P(2) = (2)³ + 6(2)² – 2(2) – 28 = 8 + 24 – 4 – 28 = 0. Karena P(2) = 0 maka x – 2 sebagai faktor.
Kemudian lakukan pembagian P(x) dengan x – 2 , menggunakan skema horner,

$\left. \begin{array}{c|crrrr}&1&6&-2&-28\\2&&2&16&28&+\\ \hline &1&8&14&0\end{array}\right.$

jadi diperoleh x³ + 6x² – 2x – 28 = (x – 2 )(x² + 8x + 14)
Kemudian kita periksa diskriminan dari x² + 8x + 14 yaitu D = (8)² – 4(1)(14) = 8 sehingga mempunyai akar akar $\frac {-8 \pm \sqrt{8}}{2(1)}$ sehingga penyelesaiannya adalah $\{ -5, -4 + \sqrt{2} , -4 - \sqrt{2} \}$ . Dari ketiga penyelesaian semua (tiga) real..
Pilihan D
kita anggap P(x) = x³ – 10x² + 32x – 32 sehingga suku konstantanya -32 kemudian kita periksa nilai P(x) untuk nilai x dari faktor bulat -32 yaitu $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$ yang menghasilkan nilai nol (kita butuh satu nilai saja).

Misal kita pilih x = 2 kemudian P(2) = (2)³ – 10(2)² + 32(2) – 32 = 8 – 40 + 64 – 32 = 0. Karena P(2) = 0 maka x – 2 sebagai faktor.
Kemudian lakukan pembagian P(x) dengan x – 2 , menggunakan skema horner,

$\left. \begin{array}{c|crrrr}&1&-10&32&-32\\2&&2&-16&32&+\\ \hline &1&-8&16&0\end{array}\right.$

jadi diperoleh x³ + 13x² + 57x + 85 = (x – 2 )(x² – 8x + 16)

Kemudian kita periksa diskriminan dari x² – 8x + 16 yaitu D = (-8)² – 4(1)(16) = 0 sehingga mempunyai akar akar $\frac {-8 \pm \sqrt{0}}{2(1)}$ sehingga penyelesaiannya adalah $\{ -5, -4 \}$ . Kedua penyelesaian semua (dua) real.

Pertanyaan dari Andini tanggal 7 April 2020 tentang cara memperoleh pemaktoran soal pada gambar.

Salah satu cara untuk memaktorkan dengan memakai konsep teorema sisa dan skema Horner, Kita pastikan koefisien x³ adalah angka 1 dan koefisien konstanta bilangan bulat. Langkah yang dilakukan:

1. 1. Kita ambil polinom ruas kiri dan beri nama, misal $P(x) = x^3 + 3x^2 -6x - 8$
  2. Cari semua faktor dari suku konstanta polinom P(x) , kita dapatkan $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$ .
  3. Kita cari salah satu dari mereka yang mempunyai nilai polinom nol dengan mencoba-coba. Misal kita pilih 1 dan kita hitung $P(1) = (1)^3 + 3(1)^2 -6(1) - 8 = -10$ ternyata lidak menghasilkan bukan nol artinya x – 1 bukan faktor P(x).
  4. Kita pilih -1 dihasilkan $P(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 -6(-1) - 8 = 0$ ternyata nol sehingga x + 1 salah satu faktor P(x)
  5. Kemudian lakukan pembagian P(x) dengan x + 1 , misal menggunakan skema horner,
    $\left. \begin{array}{c|crrrr}&1&3&-6&-8\\-1&&-1&-2&8&+\\ \hline &1&2&-8&0\end{array}\right.$
    
    jadi diperoleh $x^3 + 3x^2 -6x - 8 = (x + 1)(x^2 + 2x - 8)$
  6. Hasil skema horner kita beri nama Q(x) = x² + 2x – 8 dan kita coba memasukkan salah satu faktor dari konstantanya ( disini 8 ), misal 2 dan kita hitung Q(2) = (2)² + 2(2) – 8 = 0 maka (x – 2) faktor dari Q(x).
  7. Untuk selanjutnya kita kembali menggunakan skema horner sebagai berikut,
    
    $\left. \begin{array}{c|crrr}&1&2&-8\\2&&2&8&+\\ \hline &1&4&0\end{array}\right.$
    
    jadi diperoleh $x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)$
Sehingga diperoleh bentuk $x^3 + 3x^2 -6x - 8 = (x + 1)(x - 2)(x + 4)$

Pertanyaan dari Duta Meisya tentang Soal LKS hal 28 nomor 6.

Perhatikan pembagi (x² – 4x – 12) = (x – 6)(x + 2) dan menghasilkan sisa (9x + a).

Ingat teorima sisa bahwa sisa pembagi dapat dicari dengan menghitung nilai polinom saat nilai pembagi bernilai nol. Pembagi disini (x – 6) dan (x + 2) artinya mereka merupakan faktor dari pembagi, sehingga pembuat nol masing-masing dapat digunakan untuk menghitung sisa seperti berikut

Saat (x + 2) sisanya dapat dihitung dengan mengganti x di 9x + a dengan -2 (karena -2 merupakan pembuat nol pembagi) dan menghasilkan 9(-2) + a.
Di soal diketahui memberikan sisa 8, sehingga 9(-2) + a = 8 maka a = 26.
Saat dibagi (x- 6) juga akan memberi sisa 9(6) + 26 = 80

Pertanyaan dari Maulina Abdilah tanggal 3 April 2020 tentang pemahaman cara No. 10.

Cara dalam ilustrasi sebenarnya berbasis pada prinsip dalam pembagian polinom. Misal terdapat polinom P(x) jika,

P(x) dibagi polinom Q₁(x) menghailkan H₁(x) dan sisa polinom S₁(x) maka berlaku P(x) = H₁(x) Q₁(x) + S₁(x).
H₁(x) dibagi polinom Q_2(x) menghailkan H₂(x) dan sisa polinom S₂(x) maka berlaku H₁(x)= H₂(x) Q₂(x) + S₂(x). Sehingga P(x) = ( H₂(x) Q₂(x) + S₂(x))Q₁(x) + S₁(x).
H₂(x) dibagi polinom Q_3(x) menghailkan H₃(x) dan sisa polinom S₃(x) maka berlaku H₂(x)= H₃(x) Q₃(x) + S₃(x). Sehingga P(x) = ((H₃(x) Q₃(x) + S₃(x)) Q₂(x) + S₂(x))Q₁(x) + S₁(x).

Bentuk terakhir P(x) dapat dinyatakan,

P(x) = H₃(x)Q₃(x)Q₂(x)Q₁(x) + S₃(x)Q₂(x)Q₁(x) + S₂(x)Q₁(x)+ S₁(x).

Menggunakan algoritma diatas jika P(x) secara berturut turut dibagi Q₁(x) sampai Q_n(x) dengan masing masing pembagian memberi sisa S₁(x) sampai S_n(x) maka P(x) dapat dinyatakan,

P(x) = H_n(x)Q_n(x)Q_n-1(x) … Q₃(x)Q₂(x)Q₁(x) + S_n(x)Q_n-1(x) … Q₂(x)Q₁(x) + … + S₃(x)Q₂(x)Q₁(x) + S₂(x)Q₁(x)+ S₁(x).

Jika sisa pembagian P(x) oleh Q_n(x)Q_n-1(x) … Q₃(x)Q₂(x)Q₁(x) adalah S(x) maka

S(x) = S_n(x)Q_n-1(x) … Q₂(x)Q₁(x) + … + S₃(x)Q₂(x)Q₁(x) + S₂(x)Q₁(x)+ S₁(x).

Pertanyaan dari Marchella onik tanggal 28 Maret 2020 tentang cara penyelesaian nomor 4.

Sisa N(x) dibagi x – 7 sama dengan nilai N(7) sehingga,

$N(7) = a(7^2) + 7(7^4) + 39(7) - 49(7^3) - 23 = 49a + 250$

Sisa tersebut dalam soal adalah 5 maka $49a + 250 = 5$ sehingga a = -5 .

Jadi $N(x) = 7x^4 + 49x^3 -5x^2 + 39x - 23$

Kemudian lakukan pembagian N(x) dengan x – 7 , misal menggunakan skema horner,

$\left. \begin{array}{c|crrrrr}&7&-49&-5&39&-23\\7&&49&0&-35&28&+\\ \hline &7&0&-5&4&5\end{array}\right.$

maka akan mendapatkan hasil bagi $7x^3 - 5x + 4$ dengan sisa 5.

Pertanyaan dari Nadila Amara Putri tanggal 26 April 2020 tentang cara penyelesaian nomor 10.

Lihat ilustrasi berikut:

- Coba pikirkan $\frac{77}{30}$ akan menghasilkan hasil bagi 2 dengan sisa 17
- Proses diatas dapat ditulis juga dengan
  Sehingga proses pembagian dapat kita lakukan,
  - $\frac{77}{2}$ hasilnya 38 dengan sisa 1
  - kemudian hasil 38 diatas dilakukan proses $\frac{38}{3}$ hasilnya 12 dengan sisa 2
  - hasil sebelumnya 12 diatas dilakukan proses $\frac{12}{5}$ hasilnya 2 dengan sisa 2
  Dari proses diatas sisa $\frac{77}{2 \times 3\times 5}$ menghasilkan hasil 2 dan sisa $2 \times (2 \times 3) + 2 \times (2) + 1 = 17$

Coba kalau kita perhatikan ilustrasi diatas maka,

P(x) dapat dipandang angka 77, x+1 sebagai angka 2 dengan hasil Q(x) dengan sisa 2
Q(x) dapat dipandang angka 38, x + 3 sebagai angka 3 dengan hasil R(x) dengan sisa -3
R(x) dapat dipandang angka 12, x+2 sebagai angka 5 dengan sisa -2